Cálculo Exemplos

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} - 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {\sqrt{u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique.

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Etapa 2.1.1

Reescreva ${\sqrt{u + 1}}^{2}$ como $u + 1$ .

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Etapa 2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u + 1}$ como ${(u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int {(u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int {(u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int {(u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.1.5

Simplifique.

$\int (u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{u}$ .

$\int (u + 1) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u + 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.2

Combine $u$ e $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.7

Some $2$ e $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.8

Multiplique $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 9.3.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$