Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- d u = \sin (x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ com relação a $u$ é $\arctan (u) + C$ .

$- (\arctan (u) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$- \arctan (u) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- \arctan (\cos (x)) + C$