Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt{1 + x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u - 1) \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Expanda $(u - 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.6

Some $2$ e $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x$ .

$\frac{2}{5} {(1 + x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$