Cálculo Exemplos

$\int \tan^{3} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Etapa 6

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Etapa 7

Deixe $u = \sec (x)$ . Depois, $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 7.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Etapa 9

Simplifique.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$