Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (4 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{π}{4}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 4 \frac{π}{4}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Etapa 5

Avalie $- \cos (u)$ em $π$ e em $0$ .

$\frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Etapa 6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (π) + 1)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{1}{4} (- - \cos (0) + 1)$

Etapa 7.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{4} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Etapa 7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (- - 1 + 1)$

Etapa 7.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (1 + 1)$

Etapa 7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2$

Etapa 7.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.6.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 2$

Etapa 7.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Etapa 7.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$