Cálculo Exemplos

$\int x e^{3 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u}{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{u}{3}$ e $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{u e^{u}}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3 \cdot 3} d u$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int \frac{u e^{u}}{9} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{9} \int u e^{u} d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Etapa 6

Simplifique.

$\frac{1}{9} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x} - e^{3 x}) + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Etapa 8.2.2

Fatore $3$ de $3 x e^{3 x}$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 \cdot 3} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Etapa 8.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Etapa 8.3

Combine $x$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{3} e^{3 x} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Etapa 8.4

Combine $\frac{x}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Etapa 8.5

Combine $\frac{1}{9}$ e $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9} + C$

Etapa 9

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$