Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Etapa 1

Reescreva $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$\int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x^{4}$ . Depois, $d u = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x^{4}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{1 + u^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

Etapa 3.2

Mova $4$ para a esquerda de $1 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Etapa 5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ com relação a $u$ é $\arctan (u) + C$ .

$\frac{1}{4} (\arctan (u) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{1}{4} \arctan (u) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \arctan (x^{4}) + C$