Cálculo Exemplos

$\int 2 x \sqrt{x - 5} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - 5$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x - 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2 (u + 5) \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int (u + 5) \sqrt{u} d u$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int (u + 5) u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

Expanda $(u + 5) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$2 \int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \int u^{1 + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 \int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.6

Some $2$ e $1$ .

$2 \int u^{\frac{3}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.7

Reordene $u^{\frac{3}{2}}$ e $5 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int 5 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int 5 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 6

Como $5$ é constante com relação a $u$ , mova $5$ para fora da integral.

$2 (5 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 9.1.2

Combine $\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Etapa 9.2

Simplifique.

$2 (\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 9.3

Reordene os termos.

$2 (\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$2 (\frac{10}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

Combine $\frac{10}{3}$ e ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 11.1.2

Combine $\frac{2}{5}$ e ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.2

Para escrever $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Etapa 11.3

Para escrever $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Etapa 11.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.4.1

Multiplique $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Etapa 11.4.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Etapa 11.4.3

Multiplique $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Etapa 11.4.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Etapa 11.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Etapa 11.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.6.1

Fatore $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ de $10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3$ .

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Etapa 11.6.1.1

Reordene a expressão.

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Etapa 11.6.1.1.1

Mova ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Etapa 11.6.1.1.2

Mova ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 11.6.1.2

Fatore $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ de $10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Etapa 11.6.1.3

Fatore $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ de $2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Etapa 11.6.1.4

Fatore $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ de $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Etapa 11.6.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Etapa 11.6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.6.3.1

Divida $2$ por $2$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{1})}{15} + C$

Etapa 11.6.3.2

Simplifique.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 (x - 5))}{15} + C$

Etapa 11.6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x + 3 \cdot - 5)}{15} + C$

Etapa 11.6.3.4

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x - 15)}{15} + C$

Etapa 11.6.4

Subtraia $15$ de $25$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$

Etapa 11.7

Multiplique $2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ .

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Etapa 11.7.1

Combine $2$ e $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ .

$\frac{2 (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

Etapa 11.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 ({(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

$\frac{4 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$