Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{3} \sqrt{y + 1} d y$

Etapa 1

Deixe $u = y + 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = y + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = y + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Etapa 1.5

Some $3$ e $1$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $4$ e em $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 4.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{16 - 2}{3}$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $16$ .

$\frac{14}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{14}{3}$

Forma decimal:

$4.\overline{6}$

Forma de número misto:

$4 \frac{2}{3}$