Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3} (x + 1) e^{x^{2} + 2 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 2 x$ . Depois, $d u = (2 x + 2) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x + 2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 2 x$ .

$u_{lower} = 1^{2} + 2 \cdot 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $2$ .

$u_{lower} = 3$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 2 x$ .

$u_{upper} = 3^{2} + 2 \cdot 3$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 3$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$u_{upper} = 9 + 6$

Etapa 1.5.2

Some $9$ e $6$ .

$u_{upper} = 15$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 15$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{3}^{15} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{15} \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{15} e^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{3}^{15}$

Etapa 5

Avalie $e^{u}$ em $15$ e em $3$ .

$\frac{1}{2} (e^{15} - e^{3})$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2} \cdot (e^{15} - e^{3})$

Forma decimal:

$1634498.64346759$