Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Avalie $\frac{1}{4} u^{4}$ em $\frac{1}{2}$ e em $1$ .

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $\frac{1}{4}$ como $4^{- 1}$ .

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.5

Reescreva $\frac{1}{2}$ como $2^{- 1}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.6

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.9

Multiplique os expoentes em ${(2^{- 1})}^{4}$ .

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Etapa 4.2.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.9.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.11

Subtraia $4$ de $- 2$ .

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.12

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.2.13

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Para escrever $- \frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

Etapa 4.4.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $64$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

Etapa 4.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1 - 16}{64}$

Etapa 4.4.4

Subtraia $16$ de $1$ .

$- \frac{- 15}{64}$

Etapa 4.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{15}{64}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Etapa 4.5.2

Multiplique $\frac{15}{64}$ por $1$ .

$\frac{15}{64}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{15}{64}$

Forma decimal:

$0.234375$