Cálculo Exemplos

$\int (2 x + 1) \sqrt{x - 5} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - 5$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x - 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (2 (u + 5) + 1) \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (2 (u + 5) + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Expanda $(2 (u + 5) + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot 5 + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot 5) u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.4

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 u^{1 + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int 2 u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 2 u^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.8

Some $2$ e $1$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.9

Multiplique $2$ por $5$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 10 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.10

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 10 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.11

Some $10 u^{\frac{1}{2}}$ e $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 11 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.12

Reordene $2 u^{\frac{3}{2}}$ e $11 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 11 u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 11 u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

Como $11$ é constante com relação a $u$ , mova $11$ para fora da integral.

$11 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$11 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $11 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ como $\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Combine $2$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 9.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$\frac{22}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + C$