Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x (1 + x^{2})} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (1 + x^{2})$ .

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.5.1.2

Divida $A (1 + x^{2})$ por $1$ .

$1 = A (1 + x^{2}) + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.5.4

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ .

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Etapa 1.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.5.4.2

Divida $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$1 = A + A x^{2} + (B x + C) (x)$

Etapa 1.1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A + A x^{2} + B x \cdot x + C x$

Etapa 1.1.5.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.5.6.1

Mova $x$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x \cdot x) + C x$

Etapa 1.1.5.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A + A x^{2} + B x^{2} + C x$

Etapa 1.1.6

Mova $A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Etapa 1.3.2

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 1.3.4

Resolva $B$ em $0 = 1 + B$ .

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Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 1.3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 1.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Etapa 1.3.6

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.2.1

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x + 0}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2

Some $- x$ e $0$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 5.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$