Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Etapa 1.3.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 1^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = e^{- 1}$

Etapa 1.5.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Avalie $- \frac{1}{2} u_{2}$ em $\frac{1}{e}$ e em $1$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.31606027 \dots$