Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{3} + 1$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{3} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{3} + 1$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 1 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{3} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $8$ e $1$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{9} 2 \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2}{3} \sqrt{u} d u$

Etapa 2.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $\sqrt{u}$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2 \sqrt{u}}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{9}$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $9$ e em $2$ .

$\frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.3.2

Multiplique $2$ por $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.3.3

Cancele o fator comum de $54$ e $3$ .

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Etapa 6.3.3.1

Fatore $3$ de $54$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.3.3.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Combine $2^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Etapa 6.4.2

Multiplique $2^{\frac{3}{2}}$ por $2$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.2.1

Multiplique $2^{\frac{3}{2}}$ por $2$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Etapa 6.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Etapa 6.4.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Etapa 6.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Etapa 6.4.2.4

Some $3$ e $2$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3} \cdot (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Forma decimal:

$10.74292127 \dots$