Cálculo Exemplos

$\int x {(5 x^{2} + 4)}^{3} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 5 x^{2} + 4$ . Depois, $d u = 10 x d x$ , então, $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 5 x^{2} + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $5 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $10 x$ e $0$ .

$10 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} \frac{1}{10} d u$

Etapa 2

Combine $u^{3}$ e $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{u^{3}}{10} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{10}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{10}$ para fora da integral.

$\frac{1}{10} \int u^{3} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{1}{10} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ como $\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 5.2

Reescreva $\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ como $\frac{1}{40} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{40} u^{4} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{40} {(5 x^{2} + 4)}^{4} + C$