Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} \sec^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{x}{3}$ . Depois, $d u = \frac{1}{3} d x$ , então, $3 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{x}{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

Etapa 1.3

Divida $0$ por $3$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 1.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Etapa 1.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) \cdot 3 d u$

Etapa 2.3

Mova $3$ para a esquerda de $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \sec^{2} (u) d u$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u$

Etapa 4

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$3 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\tan (u)$ em $\frac{π}{3}$ e em $0$ .

$3 ((\tan (\frac{π}{3})) - \tan (0))$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$3 (\sqrt{3} - \tan (0))$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$3 (\sqrt{3} - 0)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 (\sqrt{3} + 0)$

Etapa 5.2.4

Some $\sqrt{3}$ e $0$ .

$3 \sqrt{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$3 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$5.19615242 \dots$