Cálculo Exemplos

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u - 1}{u} d u$

Etapa 2

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 4.1.2

Reescreva a expressão.

$\int d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int d u + \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$u + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$u + C - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$u + C - (\ln (| u |) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$u - \ln (| u |) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$x + 1 - \ln (| x + 1 |) + C$