Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \sec (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \sec (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sec (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{lower} = \sec (2 \cdot 0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{6})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 (3)})$

Etapa 1.5.1.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Etapa 1.5.1.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{2}$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{2} u_{2}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - 1}{2}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$