Cálculo Exemplos

$\int (1 + \cos (3 x)) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (1 + \cos (u)) \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int 1 + \cos (u) d u$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} (\int d u + \int \cos (u) d u)$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} (u + C + \int \cos (u) d u)$

Etapa 5

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} (u + C + \sin (u) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$\frac{1}{3} (u + \sin (u)) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 x + \sin (3 x)) + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Etapa 8.2.3

Reescreva a expressão.

$x + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Etapa 8.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sin (3 x)$ .

$x + \frac{\sin (3 x)}{3} + C$

Etapa 9

Reordene os termos.

$x + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$