Cálculo Exemplos

$\int \frac{\tan^{-1} (x)}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \tan^{-1} (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , então, $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \tan^{-1} (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\tan^{-1} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\tan^{-1} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4

Reorganize os termos.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan^{-1} (x)$ .

$\frac{1}{2} {\tan^{-1} (x)}^{2} + C$