Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - 4 x^{2}$ . Depois, $d u = - 8 x d x$ , então, $\frac{1}{- 8 x} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - 4 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$0 - 8 x$

Etapa 1.1.4

Subtraia $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Etapa 1.5.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Etapa 1.5.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Etapa 1.5.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.5.1.4.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Etapa 1.5.1.4.2

Fatore $4$ de $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.1.4.3

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.1.4.4

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Etapa 1.5.1.5

Reescreva $- 1 (\frac{1}{4})$ como $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Etapa 1.5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 1.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Etapa 1.5.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $\frac{3}{4}$ e em $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Etapa 6.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Forma decimal:

$0.26794919 \dots$