Cálculo Exemplos

$\int 3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{6} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{3} + 1$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{3} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{6} d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{6}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{7} {(x^{3} + 1)}^{7} + C$