Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + 2 x^{2}$ . Depois, $d u = 4 x d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + 2 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$0 + 4 x$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $4 x$ .

$4 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.1.1.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Etapa 1.5.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Etapa 1.5.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Etapa 2.2

Mova $4$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $9$ e em $1$ .

$\frac{1}{4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{4} (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4} (6 - 2 \cdot 1)$

Etapa 6.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (6 - 2)$

Etapa 6.3.4

Subtraia $2$ de $6$ .

$\frac{1}{4} \cdot 4$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{4}{4}$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{4}$

Etapa 6.4.2.2

Reescreva a expressão.

$1$