Cálculo Exemplos

$\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Divida a fração $\frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ em duas frações.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 5.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$