Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- d u = \sin (x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{3}} d u$

Etapa 2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \int u^{- 3} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 3}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Combine $u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Etapa 6.1.2

Mova $u^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Etapa 6.2

Simplifique.

$- - \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Etapa 6.3.2

Multiplique $\frac{1}{2 u^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 u^{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 \cos^{2} (x)} + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{1}{2 (\cos^{2} (x) \cdot 1)} + C$

Etapa 8.2

Separe as frações.

$\frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + C$

Etapa 8.3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (x) + C$

Etapa 8.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$

Etapa 8.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$