Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt{5 + 2 x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 5 + 2 x^{2}$ . Depois, $d u = 4 x d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 5 + 2 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $5 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$0 + 4 x$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $4 x$ .

$4 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6.2

Reescreva $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 + 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{6} {(5 + 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$