Cálculo Exemplos

$\int {(1 + \frac{1}{t})}^{3} (\frac{1}{t^{2}}) d t$

Etapa 1

Combine ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ e $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\int \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Etapa 2

Deixe $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , então, $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{t}$ como $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Etapa 2.1.4.2

Subtraia $\frac{1}{t^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - u^{3} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int u^{3} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Etapa 5

Reescreva $- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ como $- \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$- \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \frac{1}{t}$ .

$- \frac{1}{4} {(1 + \frac{1}{t})}^{4} + C$