Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Etapa 1.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Etapa 1.5

Subtraia $1$ de $2$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} (u + 1) \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} (u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Expanda $(u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.6

Some $2$ e $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.7

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Etapa 7

Combine $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$ e $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.3

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 8.5

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Para escrever $\frac{2}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.2

Para escrever $\frac{2}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.3.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.3.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.3.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{6 + 10}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 9.5.3

Some $6$ e $10$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 10.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 10.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 11

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 12.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 12.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 12.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 12.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Etapa 13

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + 0)$

Etapa 13.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{16}{15} - 0$

Etapa 13.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{16}{15} + 0$

Etapa 13.4

Some $\frac{16}{15}$ e $0$ .

$\frac{16}{15}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{16}{15}$

Forma decimal:

$1.0\overline{6}$

Forma de número misto:

$1 \frac{1}{15}$