Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} (x^{3} + x) {(x^{4} + 2 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Depois, $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2} + 9]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $4 x^{3} + 4 x$ e $0$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Etapa 1.3.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 9$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 9$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $9$ .

$u_{lower} = 9$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Etapa 1.5.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 + 9$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 + 9$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 3 + 9$

Etapa 1.5.3

Some $3$ e $9$ .

$u_{upper} = 12$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 12$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Combine $u^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{9}^{12} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{12}$

Etapa 5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $12$ e em $9$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 12^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $12^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 5.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 5.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Etapa 5.3.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Etapa 5.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiplique $27$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Etapa 5.3.2.2

Combine $- 27$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $- 27$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $- 54$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Fatore $3$ de $- 54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Etapa 5.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Etapa 5.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Etapa 5.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Etapa 5.3.2.4.2.4

Divida $- 18$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Forma decimal:

$2.42820323 \dots$