Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 1^{2} + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 1 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 3^{2} + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 9 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $9$ e $1$ .

$u_{upper} = 10$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int_{2}^{10} \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{2}^{10}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\ln (| u |)$ em $10$ e em $2$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| 10 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $10$ é $10$ .

$\frac{\ln (\frac{10}{| 2 |})}{2}$

Etapa 5.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{\ln (\frac{10}{2})}{2}$

Etapa 5.3.3

Divida $10$ por $2$ .

$\frac{\ln (5)}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (5)}{2}$

Forma decimal:

$0.80471895 \dots$