Cálculo Exemplos

$\int x e^{2 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{u}{2}$ e $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{u e^{u}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2 \cdot 2} d u$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \frac{u e^{u}}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int u e^{u} d u$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Etapa 6

Simplifique.

$\frac{1}{4} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Etapa 8.2.2

Fatore $2$ de $2 x e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Etapa 8.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Etapa 8.3

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} e^{2 x} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Etapa 8.4

Combine $\frac{x}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Etapa 8.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Etapa 9

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$