Cálculo Exemplos

$\int (6 x^{2} + x) \csc^{2} (4 x^{3} + x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x^{3} + x^{2}$ . Depois, $d u = (12 x^{2} + 2 x) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = (6 x^{2} + x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x^{3} + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x^{3} + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} + x^{2}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} + 2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $\csc^{2} (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \csc^{2} (u) d u$

Etapa 4

Como a derivada de $- \cot (u)$ é $\csc^{2} (u)$ , a integral de $\csc^{2} (u)$ é $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \cot (u) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} (- \cot (u)) + C$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cot (u)$ .

$- \frac{\cot (u)}{2} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{3} + x^{2}$ .

$- \frac{\cot (4 x^{3} + x^{2})}{2} + C$

Etapa 7

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} \cot (4 x^{3} + x^{2}) + C$