Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt{2 x - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x - 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine frações.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{u}$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{u}{2}$ por $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.7

Some $2$ e $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Etapa 3.9

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

Etapa 3.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

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Etapa 9.3.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.3.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 1$ .

$\frac{1}{10} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{6} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$