Cálculo Exemplos

$\int 125 x^{4} \sec (5 x^{5} - 4) \cdot \tan (5 x^{5} - 4) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 5 x^{5} - 4$ . Depois, $d u = 25 x^{4} d x$ , então, $\frac{1}{25 x^{4}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 5 x^{5} - 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $5 x^{5} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{5} - 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{5} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{5}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{5}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$25 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$25 x^{4} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $25 x^{4}$ e $0$ .

$25 x^{4}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 5 \sec (u) \cdot \tan (u) d u$

Etapa 2

Como $5$ é constante com relação a $u$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int \sec (u) \cdot \tan (u) d u$

Etapa 3

Como a derivada de $\sec (u)$ é $\sec (u) \cdot \tan (u)$ , a integral de $\sec (u) \cdot \tan (u)$ é $\sec (u)$ .

$5 (\sec (u) + C)$

Etapa 4

Simplifique.

$5 \sec (u) + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{5} - 4$ .

$5 \sec (5 x^{5} - 4) + C$