Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt{x + 2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u - 2) \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Expanda $(u - 2) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.6

Some $2$ e $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$\frac{2}{5} {(x + 2)}^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$