Cálculo Exemplos

$4 \int \frac{1}{1 - x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - x^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) (1 - x)$ por $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 1.1.7.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 1.1.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 1.1.7.5

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 1.1.7.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 1.1.7.5.2

Divida $(B) (1 + x)$ por $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Etapa 1.1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Etapa 1.1.7.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Etapa 1.1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.8.1

Mova $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Etapa 1.1.8.2

Reordene $B$ e $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Etapa 1.1.8.3

Mova $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Etapa 1.1.8.4

Mova $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 1 A + B$ por $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $- 1 (1 - B) + B$ .

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Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1 (- B)$ .

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Etapa 1.3.2.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Some $B$ e $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - 1 + 2 B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Etapa 1.3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.4.2.1.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 - x}$ .

$4 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 1 + x$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = 1 - x$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 7.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C)))$

Etapa 11

Simplifique.

$4 (\frac{\ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + x$ .

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x$ .

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Etapa 13.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Etapa 13.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Etapa 13.3.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Etapa 13.3.3

Reescreva a expressão.

$2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$