Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x^{2} - 5$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $2 x^{2} - 5$ .

$4 \frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.8.1

Some $4 x$ e $0$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.8.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{3} x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 (x^{1} x^{3})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{1 + 3}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.6

Some $1$ e $3$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.7

Combine $4$ e $\frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) + 3 \cdot - 5) x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 5 x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2}) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.8.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.8.4.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (2 (x^{2} x^{2}))) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 (3 (2 x^{2 + 2})) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.4.1.1.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{4 (3 (2 x^{4})) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.4.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{4 (6 x^{4}) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.4.1.3

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{24 x^{4} + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.4.1.4

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$\frac{24 x^{4} + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.4.1.5

Multiplique $- 15$ por $4$ .

$\frac{24 x^{4} - 60 x^{2} + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.4.1.6

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{24 x^{4} - 60 x^{2} - 16 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.4.2

Subtraia $16 x^{4}$ de $24 x^{4}$ .

$\frac{8 x^{4} - 60 x^{2}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.5

Fatore $4 x^{2}$ de $8 x^{4} - 60 x^{2}$ .

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Etapa 3.8.5.1

Fatore $4 x^{2}$ de $8 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2}) - 60 x^{2}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.5.2

Fatore $4 x^{2}$ de $- 60 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} (- 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8.5.3

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} (- 15)$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$