Cálculo Exemplos

$y = - \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- \frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{5} x^{- 4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- \frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$4 (\frac{1}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.4

Combine $4$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{4}{5}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.6

Mova $x^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Etapa 1.3.3

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Etapa 1.3.4

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{- 1}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 (- x^{- 2})$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x^{- 2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.3

Combine $2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{6}{2}$ e $x$ .

$\frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 2.2.6.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.2.6.2.4

Divida $3 x$ por $1$ .

$3 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$3 x + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 x + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 3 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$3 x + 3 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x + 3 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x + 3 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$3 x + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.3.10

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $\frac{4}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{5 x^{5}}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

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Etapa 2.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Etapa 2.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Etapa 2.4.5.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Etapa 2.4.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Etapa 2.4.7

Multiplique $x^{- 10}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.7.1

Mova $x^{4}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Etapa 2.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Etapa 2.4.7.3

Subtraia $10$ de $4$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 6})$

Etapa 2.4.8

Combine $- 5$ e $\frac{4}{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 5 \cdot 4}{5} x^{- 6}$

Etapa 2.4.9

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5} x^{- 6}$

Etapa 2.4.10

Combine $\frac{- 20}{5}$ e $x^{- 6}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20 x^{- 6}}{5}$

Etapa 2.4.11

Mova $x^{- 6}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5 x^{6}}$

Etapa 2.4.12

Cancele o fator comum de $- 20$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.12.1

Fatore $5$ de $- 20$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Etapa 2.4.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.12.2.1

Fatore $5$ de $5 x^{6}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 (x^{6})}$

Etapa 2.4.12.2.2

Cancele o fator comum.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Etapa 2.4.12.2.3

Reescreva a expressão.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 4}{x^{6}}$

Etapa 2.4.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 x - 6 x^{- 3} - \frac{4}{x^{6}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x - 6 \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$3 x + \frac{- 6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

Etapa 2.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 3 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$