Cálculo Exemplos

$y = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (4 (x^{2} + 1) x) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 6.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (4 x^{2} + 4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 x^{3} x^{2} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} x^{3}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{2 + 3} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.2.3

Some $2$ e $3$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} \cdot 4 - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.4

Mova $4$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot x^{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.5

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.6

Expanda $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 9.3.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 9.3.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.3.1.7.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.3.1.7.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.7.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.7.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.7.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.7.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.7.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.9

Simplifique.

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Etapa 9.3.1.9.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.9.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.11

Simplifique.

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Etapa 9.3.1.11.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 9.3.1.11.1.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.11.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 9.3.1.11.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.11.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.11.1.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 9.3.1.11.2.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.11.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 9.3.1.11.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.11.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.1.11.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.2

Combine os termos opostos em $4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x$ .

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Etapa 9.3.2.1

Subtraia $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} + 0 - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.2.2

Some $4 x^{5} - 2 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.3.3

Subtraia $2 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5} - 2 x$ .

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Etapa 9.4.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Etapa 9.4.1.2

Fatore $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)}{2 x^{4}}$

Etapa 9.4.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 1)}{2 x^{4}}$

Etapa 9.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1)}{2 x^{4}}$

Etapa 9.4.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})}{2 x^{4}}$

Etapa 9.4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{2 x^{4}}$

Etapa 9.4.5

Simplifique.

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Etapa 9.4.5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{2 x^{4}}$

Etapa 9.4.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{2 x^{4}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Etapa 9.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)}{x^{4}}$

Etapa 9.6

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 9.6.1

Fatore $x$ de $((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)$ .

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x^{4}}$

Etapa 9.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.6.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 9.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 9.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1)}{x^{3}}$

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{3}}$