Cálculo Exemplos

$\tan (x y) = x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (\tan (x y)) = \frac{d}{d y} (x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \tan (y)$ e $g (y) = x y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\sec^{2} (x y) (x + y x')$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec^{2} (x y) x + \sec^{2} (x y) (y x')$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$

Etapa 3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x' = x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$ .

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) = x'$

Etapa 5.2

Subtraia $x'$ dos dois lados da equação.

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) - x' = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $x \sec^{2} (x y)$ dos dois lados da equação.

$y x' \sec^{2} (x y) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Etapa 5.4

Fatore $x'$ de $y x' \sec^{2} (x y) - x'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $x'$ de $y x' \sec^{2} (x y)$ .

$x' (y \sec^{2} (x y)) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Etapa 5.4.2

Fatore $x'$ de $- x'$ .

$x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1 = - x \sec^{2} (x y)$

Etapa 5.4.3

Fatore $x'$ de $x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1$ .

$x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ por $y \sec^{2} (x y) - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ por $y \sec^{2} (x y) - 1$ .

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $y \sec^{2} (x y) - 1$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$