Cálculo Exemplos

$\int_{- 3}^{4} (2 e^{- 3 x} - 3 e^{x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} - 3 e^{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{- 3}^{4} e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Etapa 4

Deixe $u = - 3 x$ . Depois, $d u = - 3 d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = - 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 4.1.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 3 x$ .

$u_{lower} = - 3 \cdot - 3$

Etapa 4.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$u_{lower} = 9$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 3 x$ .

$u_{upper} = - 3 \cdot 4$

Etapa 4.5

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$u_{upper} = - 12$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = - 12$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Etapa 5.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{9}^{- 12} - \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{1}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Etapa 9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Etapa 11

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 \int_{- 3}^{4} e^{x} d x$

Etapa 12

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.1

Avalie $e^{u}$ em $- 12$ e em $9$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Etapa 13.2

Avalie $e^{x}$ em $4$ e em $- 3$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 ((e^{4}) - e^{- 3})$

Etapa 13.3

Remova os parênteses.

$- \frac{2}{3} (e^{- 12} - e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2}{3} e^{- 12} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Etapa 14.1.2

Combine $e^{- 12}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Etapa 14.1.3

Multiplique $- \frac{2}{3} (- e^{9})$ .

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Etapa 14.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + 1 (\frac{2}{3}) e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Etapa 14.1.3.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2}{3} e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Etapa 14.1.3.3

Combine $\frac{2}{3}$ e $e^{9}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Etapa 14.1.4

Mova $e^{- 12}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Etapa 14.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} - 3 (- e^{- 3})$

Etapa 14.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 e^{- 3}$

Etapa 14.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 \frac{1}{e^{3}}$

Etapa 14.2.2

Combine $3$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Forma decimal:

$5238.41085872 \dots$

Etapa 16