Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ por $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Etapa 4

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ e $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Etapa 5.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Avalie $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ em $\frac{3 π}{2}$ e em $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 5.2.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Combine $\frac{3 π}{2}$ e $\cos (\frac{3 π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 5.2.2.2

Combine $\frac{π}{2}$ e $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 5.2.2.3

Para escrever $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.2.2.4

Combine $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3.3

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 5.3.4.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3.6

Some $0$ e $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.3.8

Para escrever $\sin (\frac{3 π}{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.3.9

Combine $\sin (\frac{3 π}{2})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Etapa 5.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Etapa 5.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Etapa 5.3.12

Fatore $- 1$ de $- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Etapa 5.3.13

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Etapa 5.3.14

Fatore $- 1$ de $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Etapa 5.3.15

Fatore $- 1$ de $2 \sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Etapa 5.3.16

Fatore $- 1$ de $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Etapa 5.3.17

Reescreva $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ como $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Etapa 5.3.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Etapa 5.4

Simplifique.

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Etapa 5.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Etapa 5.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Etapa 5.4.3

Multiplique $3 π \cdot 0$ .

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Etapa 5.4.3.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Etapa 5.4.3.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Etapa 5.4.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Etapa 5.4.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Etapa 5.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

Etapa 5.4.7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

Etapa 5.4.8

Cancele o fator comum de $0 + 2 + 2$ e $2$ .

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Etapa 5.4.8.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

Etapa 5.4.8.2

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

Etapa 5.4.8.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

Etapa 5.4.8.4

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

Etapa 5.4.8.5

Fatore $2$ de $2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

Etapa 5.4.8.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.8.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

Etapa 5.4.8.6.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.4.8.6.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

Etapa 5.4.8.6.4

Divida $0 + 1 + 1$ por $1$ .

$- (0 + 1 + 1)$

Etapa 5.4.9

Some $0$ e $1$ .

$- (1 + 1)$

Etapa 5.4.10

Some $1$ e $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Etapa 5.4.11

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2$