Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x - 2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ e $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x - 1] - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1 + 0) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.8

Some $3 x^{2} - 4 x + 1$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Expanda $(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.2.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x^{3} - 4 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.4.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.6

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.7

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.8

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} + 8 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Subtraia $6 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + x + 8 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Some $x$ e $8 x$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} + 2 x^{2} - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 + 2 x^{2} - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $- 10 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 9 x - 2 - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $x$ de $9 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x - 2 + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$