Cálculo Exemplos

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Reescreva $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 9.2

Combine ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.1

Mova ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 9.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 9.3.3

Multiplique $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 13

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- (2 x)) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 15

Simplifique os termos.

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Etapa 15.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 15.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 15.3

Combine $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 15.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 16

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.1

Fatore $2$ de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 16.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 16.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 18

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 19

Simplifique a expressão.

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Etapa 19.1

Multiplique $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Etapa 19.2

Some $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$