Cálculo Exemplos

$y = - 5 {(2 x + 3)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 5 {(2 x + 3)}^{3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 {(2 x + 3)}^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 3$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 3$ .

$- 5 (3 {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$- 15 ({(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 + 0)$

Etapa 3.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} \cdot 2$

Etapa 3.3.7.2

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$- 30 {(2 x + 3)}^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - 30 {(2 x + 3)}^{2}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 30 {(2 x + 3)}^{2}$