Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.3

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.2.5.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Etapa 1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Etapa 1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Etapa 1.3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Etapa 1.3.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.3.6

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Etapa 1.3.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Etapa 1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 \cdot 0^{3}}$

Etapa 1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.8.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{3 \tan (0) - 2 \cdot 0^{3}}$

Etapa 1.3.8.1.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Etapa 1.3.8.1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Etapa 1.3.8.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

Etapa 1.3.8.1.5

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.3.8.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.8.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{- x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.5

Some $- e^{- x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \tan (2 x) - 2 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)]$ .

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Etapa 3.7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \tan (2 x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.7.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.7.2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.7.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.7.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.7.6

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (2 \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.7.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Etapa 3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Etapa 3.8.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 (3 x^{2})}$

Etapa 3.8.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 6 x^{2}}$

Etapa 3.9

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 5

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 6

Mova o limite para o expoente.

$\frac{- e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 7

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 9

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 10

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 11

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 12

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (2 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2}}$

Etapa 13

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 14

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 15

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 15.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- e^{0}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 15.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 15.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 16

Simplifique a resposta.

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Etapa 16.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 16.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 16.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 16.2.2

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 16.2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (0)}$

Etapa 16.2.4

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1^{2}}$

Etapa 16.2.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1}$

Etapa 16.2.6

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6}$

Etapa 16.2.7

Some $0$ e $6$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{6}$

Etapa 16.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{6}$

Etapa 16.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{6}$