Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ por $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Etapa 4

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Etapa 4.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Etapa 4.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Avalie $x (- e^{- x})$ em $\ln (2)$ e em $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Etapa 7.2

Avalie $e^{u}$ em $- \ln (2)$ e em $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Etapa 7.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Etapa 7.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Etapa 7.3.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Etapa 7.3.5

Some $\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ e $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Etapa 7.3.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

Etapa 7.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Etapa 8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique $- \ln (2)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Etapa 8.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Etapa 8.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Etapa 8.4

Combine $\ln (2)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Etapa 8.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Simplifique $- \ln (2)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

Etapa 8.5.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

Etapa 8.5.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Etapa 8.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 8.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Etapa 8.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 8.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Etapa 8.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

Etapa 8.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

Etapa 8.11

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 8.11.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.15342640 \dots$

Etapa 10