Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x^{3} + 5}{3 + 2 x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3} + 5}{3 + 2 x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{3} + 5$ e $g (x) = 3 + 2 x$ .

$\frac{(3 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5] - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(3 + 2 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(3 + 2 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(3 + 2 x) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2} + 0) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Some $9 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.6.2

Mova $9$ para a esquerda de $3 + 2 x$ .

$\frac{9 \cdot (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5) \cdot 1}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.13

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(9 \cdot 3 + 9 (2 x)) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 \cdot 3 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 \cdot 3 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.1.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.4.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x)) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.4.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x^{1})) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x^{2 + 1}) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x^{3}) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.4

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 6 x^{3} - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.1.5

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 6 x^{3} - 10}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Subtraia $6 x^{3}$ de $18 x^{3}$ .

$\frac{27 x^{2} + 12 x^{3} - 10}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Reordene os termos.

$\frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$