Cálculo Exemplos

$x^{2} y - 5 y = 12$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - 5 y) = \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y - 5 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 y$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 5 y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y'$

Etapa 3

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' - 5 y' = - 2 x y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $x^{2} y' - 5 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 5 y' = - 2 x y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $- 5 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 5 = - 2 x y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' x^{2} + y' \cdot - 5$ .

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ por $x^{2} - 5$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ por $x^{2} - 5$ .

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} - 5$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$